Infiniti più grandi di altri infiniti

(cardinalità)

In un precedente articolo (2 Novembre 2019) avevamo visto che tutti le collezioni che contengono un numero finito di oggetti sono numerabili (cioè possiamo effettivamente contarli). Avevamo dato anche una definizione matematica di numerabilità che riporto qui di seguito:
Definizione (numerabilità): Un insieme A si dice numerabile se esiste una mappa iniettiva  : A → N
che associa a ciascun elemento di \(A\) uno e un solo numero \(n \in \mathbb{N}\). \\

Infine ci eravamo lasciati con un quesito: \\
\textbf{Cosa succede se al posto di avere un insieme (o collezione) \textit{finita} di oggetti ne avessimo una \textit{infinita}?}

\section{Infinità numerabile}
Ad una prima lettura, si potrebbe rispondere alla domanda precedente dicendo che non è possibile numerare una collezione infinita di oggetti: come potremo riuscire a contarli tutti se, appunto, sono infiniti? \uppercase{è} qui che interviene la definizione matematica precedente che, magari, potrebbe portare a risultati che si discotano un po' dal senso comune delle cose. Infatti un insieme si dice numerabile se \textit{esiste una mappa iniettiva che ad ogni elemento di A ci associa uno ed uno solo numero naturale}. Sappiamo bene, tuttavia, che gli stessi numeri naturali (1, 2, 3, \(\dots\)) sono \textit{infiniti} quindi il fatto che una collezione di oggetti contenga infiniti elementi, a priori, potrebbe non escludere il fatto che sia comunque numerabile. \\
Involontariamente, un insieme di infiniti elementi che è numerabile lo abbiamo già citato: è l'insieme dei numeri naturali \(\mathbb{N}\). Infatti sicuramente ad ogni numero naturale posso associare (in modo univoco) un numero naturale:
\begin{itemize}
\item [-] Al numero 1 associo 1;
\item [-] Al numero 2 associo 2;
\item [-] e così via...
\end{itemize}
Si deduce quindi che \(\mathbb{N}\) contiene un'\textit{infinità numerabile} di elementi. \\
Come tradurre ciò in un linguaggio più pratico? Se in un insieme finito di elementi, numerare e contare potevano essere considerati sinonimi, abbiamo già discusso che questa analogia viene a perdersi nel caso di infiniti oggetti. Possiamo tuttavia recuperare parzialmente l'analogia dicendo che "un insieme con infiniti elementi è numerabile se posso contare ogni oggetto della collezione dopo un tempo arbitrariamente lungo". Nel caso dei numeri naturali, possiamo prendere un foglio e iniziare a listare tutti i numeri. Dopo 1 minuto magari abbiamo scritto i primi 50 numeri, ma possiamo sempre continuare. Dopo un giorno magari ne abbiamo scritti 100mila, ma possiamo ancora continuare. Dopo un tempo pari all'età dell'universo ne abbiamo scritti \(10^{15}\) ma possiamo ancora continuare. Idealmente, in un tempo infinito riusciremo a listarli tutti. \uppercase{è} questa l'idea di fondo che risiede in una infinità numerabile di oggetti. \\

Ma parlare di infinità, spesso porta ad alcuni risultati curiosi. Vale ad esempio che \textit{i numeri naturali sono tanti quanti quelli pari o dispari (cioè hanno la stessa cardinalità)}. Sappiamo tutti che i numeri naturali possono essere o pari o dispari. Il buon senso ci suggerisce che, sicuramente, tutti i numeri naturali saranno di più di un loro sottoinsieme (come ad esempio i numeri pari). \\
Non esattamente. Infatti come esistono infiniti numeri naturali, esistono anche infiniti numeri pari (o dispari). Anche in questo caso ci possiamo chiedere se tale infinità di numeri pari sia numerabile e la risposta è affermativa (basta associare ad ogni numero pari la sua metà, la quale è sicuramente un numero naturale). Quindi l'insieme dei numeri pari ha un'infinità numerabile di elementi, come \(\mathbb{N}\). Ne segue che la loro cardinalità è la stessa, cioè contengono "lo stesso numero di elementi". Quindi ci sono tanti numeri pari (o dispari) quanti numeri naturali.

\subsection{L'insieme dei numeri interi \(\mathbb{Z}\)}
L'insieme \(\mathbb{N}\) è l'unico che contiene un'infinità numerabile di elementi? Proviamo a considerare l'insieme dei numeri interi \(\mathbb{Z}\) (i suoi elementi sono i numeri naturali con segno, quindi 0, 1, 2, -1, -2, \(\dots\)). Se proviamo ad adottare la stessa strategia di conteggio di \(\mathbb{N}\) ben presto riscontriamo un problema. Infatti se a 0 associo 0, a 1 associo 1, a 2 associo 2 e così via, mi accorgo che non riesco mai a contare i numeri negativi. Come abbiamo già visto, gli interi positivi sono infiniti, quindi non posso pensare di raggiungere una "fine" dei numeri positivi per poi iniziare a contare quelli negativi. \(\mathbb{Z}\) risulta quindi non numerabile? Prima di arrenderci, proviamo a vedere se esiste qualche altro modo furbo per contare gli elementi di \(\mathbb{Z}\) senza "perderne nessuno per strada". L'idea è la seguente:
\begin{itemize}
\item [-] Al numero 0 in \(\mathbb{Z}\) associo il numero 0 in \(\mathbb{N}\) \footnote{In alcuni casi il numero 0 non viene fatto rientrare nei numeri naturali. Ad ogni modo questo dettaglio non influisce nella trattazione che segue.};
\item [-] Al numero 1 in \(\mathbb{Z}\) associo il numero 1 in \(\mathbb{N}\) e al numero -1 in \(\mathbb{Z}\) associo il numero 2 in \(\mathbb{N}\);
\item [-] Al numero 2 in \(\mathbb{Z}\) associo il numero 3 in \(\mathbb{N}\) e al numero -2 in \(\mathbb{Z}\) associo il numero 4 in \(\mathbb{N}\);
\item [-] e così via...
\end{itemize}
In pratica stiamo listando in numeri interi nell'ordine 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, \(\dots\). In questo modo riesco a scrivere sia i numeri positivi che negativi e, anche ion questo caso, dopo un tempo arbitrariamente lungo potrei listarli tutti. Ne segue che anche \(\mathbb{Z}\) è un insieme con infinità \textit{numerabile} di elementi cioè ha la stessa cardinalità di \(\mathbb{N}\) nonostante contenga anche i numeri negativi!

\subsection{L'insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\)}
L'insieme \(\mathbb{Q}\) è quello che contiene tutte le frazioni ove numeratore e denominatore sono numeri interi (e il denominatore è non nullo). Anche in questo caso ci chiediamo se è possibile "contare" tutte le frazioni. In questo caso, il metodo usato per gli interi non è più applicabile: riusciremmo infatti a scrivere solo le frazioni che hanno denominatore pari a 1 (e certamente non sono tutte le possibili frazioni). Occorre quindi ingegnarsi per trovare un nuovo modo di listare gli elementi di \(\mathbb{Q}\). \\
Osserviamo innanzitutto che le frazioni possono essere scritte con un numero intero N a numeratore e con un numero naturale D a denominatore (non è necessario inserire numeri negativi a denominatore perché l'eventuale segno della frazione è già coperto dal segno del numeratore). Sappiamo tuttavia listare i numeri naturali, come sappiamo listare in numeri interi. Se ora scriviamo la seguente tabella (in orizzontale listiamo i possibili valori del numeratore, in verticale i possibili denominatori): \\
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{c|cccccc}
& 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & \(\dots\) \\\hline
1 & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & \(\dots\) \\
2 & 0 & \(\frac{1}{2}\) & \(\frac{-1}{2}\) & 1 & -1 & \(\dots\) \\
3 & 0 & \(\frac{1}{3}\) & \(\frac{-1}{3}\) & \(\frac{2}{3}\) & \(\frac{-2}{3}\) & \(\dots\) \\
4 & 0 & \(\frac{1}{4}\) & \(\frac{-1}{4}\) & \(\frac{1}{2}\) & \(\frac{-1}{2}\) & \(\dots\) \\
5 & 0 & \(\frac{1}{5}\) & \(\frac{-1}{5}\) & \(\frac{2}{5}\) & \(\frac{-2}{5}\) & \(\dots\)
\end{tabular}
\end{table}

Listiamo ora le frazioni nel seguente modo (ricordiamo che ogni valore deve essere conteggiato una e una sola volta): procedendo dal bordo in alto a sinistra, iniziamo a leggere le frazioni in diagonale, dall'alto verso il basso e da destra verso sinistra. Così si ottiene: 0, 1, -1, \(\frac{1}{2}\), 2, \(\frac{-1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), -2, \(\frac{-1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\dots\). \\
Anche in questo caso, in un tempo arbitrariamente lungo, si potrebbe listare tutte le frazioni senza "perderne nessuna per strada". Si conclude che anche l'insieme \(\mathbb{Q}\) è numerabile e, straordinarimente, ha la stessa cardinalità dei numeri naturali!

\section{Infinità non numerabile}
Fino a qui, siamo risuciti ad escogitare metodi per contare tutti i possibili valori in \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Z}\). Ma esistono casi in cui non è possibile listare tutti i valori di una infinità perché semplicemente sono troppi. Insiemi di questo tipo hanno una infinità \textit{non numerabile} di elementi per cui si può dire (poco elegantemente) che "un'infinità non numerabile è molto più grande di un'infinità numerabile". \\
Per trovare un insieme non numerabile di elementi basta pensare all'insieme di tutti i numeri reali \(\mathbb{R}\), anzi ci si può restringere ad un semplice segmento della retta reale, come ad esempio tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Anche se volessimo iniziare a listare i possibili numeri reali, già dopo aver scritto sul nostro foglio "0", ci troveremmo in difficoltà a listare il suo successivo. Infatti dato un numero reale \(a\) e un altro reale \(b \neq a\) si ha che esiste sempre un terzo numero reale \(c\) tale che sia compreso tra \(a\) e \(b\) \footnote{Esiste un enunciato matematico che dimostra ciò, talvolta noto come assioma di continuità o di completezza.}. Pertanto esistono molti più numeri reali tra 0 e 1 che elementi in \(\mathbb{Q}\)!
\end{document}

Toniolo Nicolò